Double angle plot for astigmatism

Estoy terminando de escribir un artículo con la (inocente) esperanza de que sea publicado en una revista científica de impacto, y para ese trabajo uno de los elementos que he necesitado es la realización de una representación gráfica del astigmatismo.

El astigmatismo, del tipo que sea, necesitamos representarlo en potencia y eje, lo podríamos hacer con vectores, con un diagrama de ejes... aunque lo más utilizado en presentaciones científicas es la representación en ángulo doble.

El astigmatismo, por definición, se puede representar mediante un vector con una potencia y orientación determinada. En un eje cartesiano de 0-360º, aunque clínicamente un astigmatismo a un eje tiene el mismo valor que si lo colocamos a 180º (un cil a 30º es lo mismo que un cilindro a 210º), cuando empezamos a trabajar con vectores, sumas de astigmatismos, o una simple descomposición en coordenadas polares X e Y, matemáticamente no son iguales esos 2 cilindros a 30º y a 210º. 

Me explico: Cuando realizamos una descomposición en ejes X e Y de un astigmatismo, lo hacemos según las siguientes fórmulas:

X=Cyl·Cos(alfa)

Y=Cyl· Sen(alfa)

Siendo Cyl la potencia en dioptrías del astigmatismo, y alfa el ángulo.

Supongamos que tenemos un astigmatismo de 2.00D a 30º:

X=2·Coseno(30)= 1.73

Y=2·Seno(30)= 1

¡¡ojo con la calculadora, hay que asegurarse si trabajamos en grados o radianes!!

Sabemos que clínicamente, un astigmatismo a 210º se compartará exactamente igual; sin embargo, matemáticamente...

X=2·Coseno(210)= -1.73

Y=2·Seno(210)= -1

Esto es debido a que el ángulo 210º cae en el tercer cuadrante de un diagrama de coordenadas polares, por lo que los signos de las coordenadas X e Y serán negativos.

Para realizar operaciones con astigmatismos lo ideal en este caso es realizar un ajuste mediante el ángulo doble, es decir, operar matemáticamente con el ángulo doble y luego realizar la división a la mitad para obtener el valor final de la operación vectorial con nuestros astigmatismos.

De esta forma:

X=2·Coseno(2x30)

Y=2·Seno(2x30)

Así evitamos que un eje+180º se convierta en diferentes signos al operar con ellos, el eje de 30 se convierte en el eje de 60, el de 45 en el de 90, el de 180 en 360. Y luego al recalcular la potencia se divide el ángulo a la mitad.

Realizando esta descomposición en ángulo doble, además, podemos realizar una gráfica en 360º que nos permita ver rápida y claramente la distribución de una serie de datos de astigmatismo, en potencia y localización:

Sin embargo (otra vez), excel no tiene una opción de representación gráfica con estas peculiaridades, por lo que hay que realizar una descomposición vectorial de cada valor, ajustar los ángulos al ángulo doble...

Para este trabajo que comentaba al principio, he tenido que realizar mi propia hoja de cálculo que me permitiera dibujar fácilmente los astigmatismos medidos. Como ya la tengo lista y, siguiendo el espíritu del blog de compartir recursos, la dejo por aquí por si a alguien le puede resultar útil. Como siempre, descarga gratuita a cambio de un tweet ;)